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Criterio
generalizzato di stabilità ·
Criterio ristretto di
stabilità ------------------<OOOOOOOOOOO>------------------ Si consideri un sistema che
abbia la seguente funzione di trasferimento ad anello chiuso:
Per
analizzare la stabilità di un sistema di controllo lineare invariante nel
tempo nel dominio della frequenza, si consideri una curva chiusa giacente nel
piano complesso s, costituita dall’asse immaginario, con ω variabile da
e da una semicirconferenza di raggio R
La
curva così definita è detta cammino di Nyquist e racchiude l’intero semipiano destro o semipiano
al quale appartiene al semiasse σ
positivo. Al
variare del punto Pi sulla curva cammino di Nyquist, il punto Qi estremità del vettore OQi→ rappresentativo della funzione di
trasferimento ad anello aperto G(s) ∙ H(s) nel piano complesso, descrive
una curva chiusa in detto piano.
Se la funzione di trasferimento ad
anello aperto G(s) ∙ H(s) ha poli a parte reale positiva, il criterio generalizzato di stabilità di
Nyquist può essere così enunciato: Un sistema avente una funzione di trasferimento ad
anello aperto G(s) ∙ H(s) con poli a parte reale positiva è stabile se
il numero N delle rotazioni compiute dal vettore OQi
in verso antiorario attorno al punto
−1 + Ј0 con ω che varia da −∞
a +∞ è uguale al
numero P dei poli a parte reale positiva della medesima funzione: N = − P Se la funzione di trasferimento ad
anello aperto G(s). H(s) non ha poli a parte reale positiva, allora il sistema è stabile ad anello aperto ed il criterio di stabilità di
Nyquist, detto criterio ristretto di stabilità, si enuncia nel seguente modo: Criterio
ristretto di stabilità: un sistema è stabile se
la funzione di trasferimento ad anello aperto G(s) ∙ H(s) non presenta
poli nel semipiano destro (P=0) e se il vettore OQi
non compie alcuna rotazione attorno al punto
−1 + jo quando ω varia da -∞ a +∞. In definitiva, si conclude che: un sistema è stabile ad
anello aperto e ad anello chiuso quando P=0 e
N=0 I valori di ω < 0 non hanno
significato fisico, ma solo significato matematico. Dalle considerazioni fatte si
conclude che la stabilità di un sistema ad anello chiuso può essere valutata,
secondo il criterio di Nyquist, dall’analisi della sua funzione di
trasferimento ad anello aperto. Per tracciare il diagramma di Nyquist
si procede in pratica nel seguente modo: ·
si
traccia il diagramma polare della funzione F(Јω)
con ω variabile da 0⁺ a +∞; ·
si
traccia il diagramma polare della funzione F(Јω)
con ω variabile da −∞ a 0ˉ ;quest’ultimo diagramma è
l’immagine speculare, rispetto all’asse reale, del diagramma polare della
stessa funzione F(jω) tracciato con ω variabile da 0⁺ a +∞.
Si dimostra, inoltre, che i poli nulli o quelli
complessi coniugati a parte reale nulla non devono essere computati quando si
verifica la stabilità di un sistema.
Si
verifica la stabilità del sistema la cui funzione di trasferimento ad anello
aperto è:
Il sistema è di tipo zero, presenta due poli
reali negativi P1= -1/5 e P2 = -1/2 ed
è stabile ad anello aperto perché la sua funzione di trasferimento non ha
poli a parte reale positiva (P=0) Per verificare la stabilità del sistema ad anello
chiuso si deve costruire il diagramma di Nyquist della funzione. Posto s=jω si ha:
Il
diagramma polare ha origine nel punto di coordinate 10.0° del semiasse
positivo e la fase della funzione è negativa per ω > 0+. Pertanto il vettore OQi→ ruota in verso orario e il diagramma descritto,
tangente nell’origine al semiasse immaginario negativo perché Ф →
-180° quando Ф→ ∞, si rappresenta nel quarto e nel terzo
quadrante
Dal
Diagramma di Nyquist si deduce che il vettore OQi→ non compie nessuna rotazione
attorno al punto -1 + j0 quando la pulsazione ω varia da -∞ a +∞. Concludendo il
sistema è stabile ad anello aperto ed è stabile ad anello chiuso per il
criterio ristretto di Nyquist P=0 N=0
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